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数学笔记

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Oneton的数学笔记

第六章

6.1 概念

1.平面向量的概念

  • 向量: 既有大小又有方向 (与矢量对应)

  • 数量: 只有大小无方向 (与标量对应)

    向量不能比较大小

2.

  • 有向线段: 有起点, 终点, 长度 位置固定

  • 向量可以平移

3.向量表示: $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {a}$(印刷:$\textbf{a}$ )

4.模(大小, 长度), 记为 $|\overrightarrow {AB}|$, $|\overrightarrow {a}|$

5.

  • 零向量: 长度为$0$ 记为$\overrightarrow {0}$, 方向任意;

  • 单位向量: 长度为$1$, 与非零向量$\overrightarrow {a}$共线的向量$\pm \frac{\overrightarrow{a} }{|\overrightarrow{a}|}$

6.

  • 相等向量: 长度相同, 方向相同

  • 平行向量: 等于共线向量

    方向相同或相反的非零向量, 记$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$

    $\overrightarrow{0}$与任意向量平行

7.

  • 直线线段平行$\neq$共线

  • 向量平行$=$共线

    注: $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}, \overrightarrow{b}//\overrightarrow{c}$ 那么$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$ 错

    ​ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ 那么$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$ 对

    四边形$ABCD$中, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, $ABCD$为平行四边形

6.2.1 加法

1. 法则

  • 平行四边形法则: 共起点

1

  • 三角形法则: 首尾相连连首尾

2

可直接出结果, 计算可无限推广

2. $\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

3. $||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\leq |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

  • $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$有一个为$\overrightarrow{0}$或都为$\overrightarrow{0}$, 则$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$反向, 则$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$同向, 则$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|= |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$不共线, 则 $||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||< |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|<|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

4.

  • $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
  • $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

题型

1. 作图: 两个法则特点

2. 运算: 字母间的变换

e.g.:

3.实际应用

  • 垂直到达岸边3
  • 沿垂直方向走4

6.2.2减法

1.相反向量

  • 相反向量: 长度相等, 方向相反
  • $\overrightarrow{AB}$的相反向量为$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
  • $\overrightarrow{0}$的相反向量为$\overrightarrow{0}$

2.三角形法则: 共起点, 连终点, 方向指向被减数

  • 5$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

3.$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq |\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}|\leq |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$至少有一个为时, 等号同时成立
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$同向且$|\overrightarrow{a}|>|\overrightarrow{b}|$时, $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$同向且$|\overrightarrow{a}|<|\overrightarrow{b}|$时, $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$反向时, $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$不共线时, $||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||< |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|<|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

题型

1. 做图

  • 化成加减法
  • 三角形法则

2. 化简

  • 化成加法

  • 三角形法则

  • 注意字母间变换

    e.g.

    • $\overrightarrow{NQ}-\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{MP}$
      $=\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{0}$

      或$=(\overrightarrow{NQ}-\overrightarrow{NM})-(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MP})=\overrightarrow{0}$

    • $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$
      $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

      或$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

3.表示向量

e.g.
  • 如图, 五边形$ABCDE$中, 四边形$ACDE$是平行四边形, 用$\textbf{a,b,c}$表示$\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CE}$ 6

6.2.3 数乘

1.实数$\lambda\cdot\overrightarrow{a}$

  • $|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda||\overrightarrow{a}$
  • $\lambda\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0})$
    • $\lambda>0$ 时, 与$\overrightarrow{a}$同向
    • $\lambda<0$ 时, 与$\overrightarrow{a}$反向
  • $\lambda=0$或$\overrightarrow{a}=0$时, $\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

2. 运算法则

  • 加法, 减法, 数乘: 线性运算

3.共线向量定理

  • 共线向量定理: 向量$\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0})$与$\overrightarrow{b}$共线的充要条件是: 存在一个实数$\lambda$, 使$\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}$
  • $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0},\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}$
  • $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$不能去, 若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
    • $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}, \lambda$ 无解
    • $\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}, \lambda$ 无限解

题型

1. 化简: 把向量当同类项

2.证明共线: $\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}$:三点共线: $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{BC}$

  • e.g.

    • $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$不共线

      (1). $\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1}-\frac{1}{3}\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{b}=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$, 判断$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$是否共线

      ​ $\because\overrightarrow{b}=6\overrightarrow{a}\therefore\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$

      (2). $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{e_1}+8\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{CD}=3(\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})$, 求证: $A,B,C$三点共线

      ​

    $A,B,C$三点共线, $O$为任意一点

$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$不共线, 且$\lambda_1\overrightarrow{e_1}=\lambda_2\overrightarrow{e_2}或\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}=0$则$\lambda_1=\lambda_2=0$

$\triangle ABC$中, $G$为重心, 则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

3. 共线求参

  • e.g

    • $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$不共线, 使$k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$共线, 求$k$

      $设ke_1+\overrightarrow{e_2}=\lambda(\overrightarrow{e_1}+ke_2)\\
      \therefore(k-\lambda)\overrightarrow{e_1}=(\lambda k-1)\overrightarrow{e_2}\\
      \because \overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}不共线\\
      \therefore \begin{cases}k-\lambda=0\\\lambda k-1=0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}k=1\\\lambda=1\end{cases} 或 \begin{cases}k=-1\\\lambda=-1\end{cases}\\
      \therefore k=\pm1$

4. 表示$\begin{cases}直接表示出来\\等式解出来\end{cases}$

  • e.g

    • $A,B,C$三点共线, $\overrightarrow{AC}=-3\overrightarrow{CB}$, 用$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}=$____

    • $\triangle ABC$及平面内一点$P$, 且$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$, 则$P$在$AC$上

      $\begin{align}
      \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}&=\overrightarrow{AP}&\\
      \overrightarrow{PC}&=2\overrightarrow{AP}&\\
      \therefore P在AC上\\
      \end{align      }$

整理

  • 如图所示, 已知点$G$是$\triangle ABC$ 的重心, 过点$G$作直线与$AB,AC$两边分别交于$M,N$两点, 且$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}$则$x+y$的最小值为7

  • 在$\triangle ABC$中, 若点$P,Q$为线段$BC$的两个黄金分割点, 设$\overrightarrow{AP}=x_1\overrightarrow{AB}+y_1\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AQ}=x_2\overrightarrow{AB}+y_2\overrightarrow{AC}$, 则$\frac{x_1}{x_2}+\frac{y_1}{y_2}=\qquad$8

6.2.4向量的数量积

1.定义

  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$为非零向量, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$夹角为$\theta$
  • $\theta=0$, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$同向
  • $\theta=\pi$, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$反向
  • $\theta=\frac{1}{2}\pi$, $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$
  • $\overrightarrow{0}$与任一向量的乘积都为0
  • 数量积结果是实数, 向量线性运算结果是向量

2. 投影向量

  • 9 $\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影向量$\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{a}|\cos{\theta}\cdot\frac{\overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{b}|}$

3. $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$为非零向量

  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$同向, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$反向, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|$
  • $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$
  • $|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|$
  • $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}^2}$

4. 运算

  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
  • $\lambda \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda \overrightarrow{b})$
  • $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$
  • $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2$
  • $(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b})^2=a^2\pm2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

5. $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$非$\overrightarrow{0}$

  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}\qquad\times$ 只能说明$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的投影相等

  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\qquad\times$

题型

1. 求向量的模$\begin{cases}已知|2a+b|&两边平方\\求|2a+b|&=\sqrt{(2a+b)^2}\end{cases}$

  • e.g.

    • 已知$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=5$, 且$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=5$, 求$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$的值

2. 求夹角

  • e.g.

    • 设$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$是两个单位向量, 其夹角是$60^\circ$, 求向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{n}-3\overrightarrow{m}$的夹角

3. 夹角为锐/钝角

  • 锐角$\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}>0\\\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}不同向平行\end{cases}$

  • 钝角$\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<0\\\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}不反向平行\end{cases}$

  • e.g.

    • 已知$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是两个互相垂直的单位向量, 若向量$\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$与$k\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$夹角问锐角, 则$k$的取值范围为

    • 设两个向量$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$满足$|\overrightarrow{e_1}|=2,|\overrightarrow{e_2}|=1,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$夹角为$60^\circ$, 若向量$2t\overrightarrow{e_1}+7\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow{e_1}+t\overrightarrow{e_2}$夹角为钝角, 求$t$取值范围

6.3.1 平面向量基本定理

1. 平面向量定理

  • 如果$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量$\overrightarrow{a}$, 有且只有一对实数$\lambda_1,\lambda_2$, 使$\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}$

2. 基底

  • 不共线的向量$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$叫做表示这一平面所有向量的一组基底

  • 一个平面内有无数组基底

3. $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是一组基底

  • 任意向量$a=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}$, $\lambda_1,\lambda_2$有且只有一对

  • $a=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R})$表示了平面内所有向量

4. $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是一组基底

  • 若$x_1\overrightarrow{e_1}+y_1\overrightarrow{e_2}=x_2\overrightarrow{e_1}+y_2\overrightarrow{e_2}$, 则$x_1=x_2,y_1=y_2$

  • $\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{0}$, 则$\lambda_1=\lambda_2=0$

题型

  • e.g.

    • 用$\overrightarrow{DE},\overrightarrow{BF}$表示$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ 10

    • 在$\triangle AOB$中, $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},M,N$分别是边$OA,OB$上的点, 且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a},\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$, 设$AN$与$BM$交于点$P$, 用$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OP}$ 11$$

6.3.2 平面向量的正交分解及座标表示 & 6.3.3 平面向量的坐标运算 & 6.3.4 数乘的坐标表示

1.

  • $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

  • $\overrightarrow{i}=(1,0),\overrightarrow{j}=(0,1), \overrightarrow{0}=(0,0)$

2.

  • $A(x,y),\overrightarrow{a}=(x,y)$

3. $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$

  • $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

  • $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ (终点坐标-始点坐标)

  • $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$

4.

  • $G$为$\triangle ABC$重心, $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$, 则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0},G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}), 3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}$

  • $O$为垂心, $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

  • $O$为内心, $\overrightarrow{OA}\cdot(\frac{\overrightarrow{AC} }{|\overrightarrow{AC}|}-\frac{\overrightarrow{AB} }{|\overrightarrow{AB}|})=\overrightarrow{OB}\cdot(\frac{\overrightarrow{BC} }{|\overrightarrow{BC}|}-\frac{\overrightarrow{BA} }{|\overrightarrow{BA}|})=0, a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=0$

  • $O$为外心, $||\overrightarrow{OA}||=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|, (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{AC}=0$

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

1. $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$

  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos{\theta}=x_1x_2+y_1y_2$
  • $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}(\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0})\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$
  • $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$
  • $\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2$, $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

2. $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

  • $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
  • $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} }$

3. $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AB||AC|\sin A$

题型

  • 已知$a=(1,-1）, b（\lambda, 1)$, 若$a$与$b$度夹角$\alpha$为钝角, 求$\lambda$取值范围

  • 在$\triangle ABC$中, $\overrightarrow{AB}=(2,3),\overrightarrow{AC}=(1,k)$, 若$Rt\triangle ABC$, 求$k$的值

    ​ 12

  • 已知$\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}=(-2\sqrt{3},2) ,\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-4, |\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}$, 求$m,n$即$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角$\theta$

    13

    14

6.4.3.1 余弦定理

1. 公式

  • $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

  • $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

  • $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

  • $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

  • $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

  • $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

  • 证明:

题型

1. 解三角形$\begin{cases}两边及其夹角(公式)\\两边及一边对角\end{cases}$

  • e.g.

    • 在$\triangle ABC$中, $b=3,c=2\sqrt{3},A=30^\circ$,求$a=\sqrt{3}$

    • 在$\triangle ABC$中, $A=120^\circ, a=7,b+c=8$, 求$b,c$
      $bc=15,b+c=8$

    • 在$\triangle ABC$中, $a^2=b^2-c^2+\sqrt{2}ac$, 则$B=$

2. 判断三角形形状: 边角互换

  • e.g.

    • 在$\triangle ABC$中, $b(a-c\cos B)=a(b-c\cos A)$, 求$\triangle ABC$形状
  • $\triangle ABC$中, $\cos^2 \frac{A}{2}=\frac{b+c}{2}$, 判断三角形形状

3. 求值问题

  • e.g.

    • $\triangle ABC$中

      (1). $2b\cos C-2a+c=0$, 求$B$

      (2). $a+c=5, ac=4\sqrt{2}, \tan B=1$, 求$b^2$

6.4.3.2 正弦定理

1. 公式

  • $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R(\triangle ABC的外接圆半径)$

  • $\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

  • $\triangle ABC$中, 大边对大角, 小边对小角

  • $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{abc}{4R(外接圆半径)}=\frac{r(内切圆半径)}{2}(a+b+c)$

题型

1. 解三角形$\begin{cases}两角一边\\两边及一边对角\\\end{cases}$

  • e.g.

    • $a=\sqrt{3},b=\sqrt{2},B=45^\circ$

    • $A=60^\circ, c=\sqrt{2},a=\sqrt{6}$

2. 判断三角形形状

  • e.g.

    • $\triangle ABC$中, $b=\cos A$, 判断$\triangle ABC$形状

3. 作业整理

  • $a=x(x>0),b=2,B=45^\circ$, $\triangle ABC$有两个解和一个解时, 求$x$范围
  • 锐角$\triangle ABC$中, $B=2A$, 则$\frac{b}{a}$范围是
  • $\triangle ABC$中, $\sin 2A=\sin 2B$, 判断$\triangle ABC$形状
  • $\triangle ABC$中, $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$, 判断三角形形状。

方法

  • 边角互化: 优先正弦定理

  • 余弦定理: $a+b,ab,a^2+b^2$间关系($a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$)

  • 正弦定理:

    • 和差公式

    • 辅助角公式

    • 替换思想($B=\frac{\pi}{3}\Rightarrow A+C=\frac{2\pi}{3}$)

  • 互补、互余角的正余弦关系

整理

  • 如图,一直线$EF$与平行四边形$ABCD$的两边$AB,AD$分别交于$E,F$两点,且交对角线$AC$于点$K$,其中,$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AK}=\lambda\overrightarrow{AC}$, 则$\lambda$的值为

15

  • 已知平面向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$的模都为$2$, $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$夹角$90^\circ$, 若$\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{MC}(\lambda\ne0)$,则$\overrightarrow{AM}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$的值为

  • 在$\triangle ABC$中, $AOB$为直角$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB},AD$与$BC$相交于点$M$, $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

    • 用$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OM}$

    • 在线段$AC$上取一点$E$, 在线段$BD$上取一点$F$, 使得直线$EF$过$M$,设$\overrightarrow{OE}=\lambda\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OF}=\mu\overrightarrow{OB}$, 求$\frac{1}{\lambda}+\frac{3}{\mu}$的值

    • 若$|AB|=a$, 过$O$作线段$PQ$, 使得$O$为$PQ$的中点, 且$|PQ|=2a$, 求$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BQ}$的取值范围

  • $O$为$\triangle ABC$的外心, $AB=4,AC=2,\angle BAC$为钝角,$M$是边$BC$的中点, 则$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AO}$等于

    16

  • 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,1),\overrightarrow{b}=(1,-1),\overrightarrow{c}=(\sqrt{2}\cos\alpha,\sqrt{2}\sin\alpha)(a\in\mathbb{R})$,实数$m,n$满足$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$, 则$(m-3)^2+n^2$的最大值为

    或17

  • 在$\triangle ABC$中, 角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$. 若$\triangle ABC$为锐角三角形, 且满足$b^2-a^2=ac$, 则$\frac{1}{\tan{A} }-\frac{1}{\tan{B} }$的取值范围是

  • 在$\triangle ABC$中, $AB=AC=3, \angle BAC=90^\circ, D$为$BC$中点, $M$在$\triangle ACD$内部(不含边界), $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}$, 则$\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{BM}$取值范围是

18

第七章

7.1 数系的扩充和复数的概念

1. 复数:

  • 形如$a+bi(a,b\in\mathbb{R})$

  • $a$为实部, $b$为虚部, $i$为虚数单位$(i^2=-1)$

  • 复数集$\mathbb{C}={a+bi, a,b\in \mathbb{R} }$

2. 两个复数相等的充要条件: $a_1=a_2, b_1=b_2$

3. 复数的分类

  • $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})\begin{cases}b=0&实数\\b\neq0&虚数\begin{cases}a=0&纯虚数\\a\neq0&非纯虚数\\\end{cases}\\\end{cases}$

题型

比较大小

  • 复数$z=a+bi>0$, 则$a>0,b=0$

  • $a+bi>c+di$, 则$\begin{cases}b=d=0\\a>c\\\end{cases}$

7.1.2 复数的加、减运算及其几何意义

1. 复平面

  • 19

2. 复数的几何意义

  • 20

3. 复数的模

  • 定义: $\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z=a+bi$的模

  • 记法: 复数$z=a+bi$的模记为$|z|$或$|a+bi|$且$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

  • 复数$z$满足$|z-i|=1$, 其几何意义是: 点$z$到点$(0,1)$的距离为$1$

4. 共轭复数

  • 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.

  • 复数$z$的共轭复数用$\overline{z}$表示, 即如果$z=a+bi$,那么$\overline{z}=a-bi$.

题型

1. 几何意义的应用

  • 复数$z$满足$|z-i|=1$, 其几何意义是: 点$z$到点$(0,1)$的距离为$1$

  • $|z+1+i|=1$, 其几何意义是: 以$(0,1)$为圆心,半径为$1$的圆

  • $|z-1|=|z+2i|$, 其几何意义是: $(1,0)$和$(0.-2)$点所连线的垂直平分线

第八章

8.1 基本立体图形

1. 棱柱

  • 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行

  • 特殊情形$\begin{cases}直棱柱&侧棱垂直于底面的棱柱\\斜棱柱&侧棱不垂直于底面的棱柱\\正棱柱&底面是正多边形的直棱柱\\\end{cases}$

  • 记法: 棱柱$ABC-A_1B_1C_1$

  • 上下两面平行, 侧面都是平行四边形的多面体是棱柱? $\times$ 反例: 21

2. 棱锥

  • 一个面是多边形余各面都是有一个共顶点的三角形这些面所围成的多面体

  • 正棱锥: 底面是正多边形, 并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥

  • 记作: 棱锥$S-ABC$

  • 一个面是多边形余各面都是三角形这些面所围成的多面体是棱柱? $\times$ 反例: 22

3. 棱台

  • 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面和截面之间那部分多面体

  • 记法: 棱台$ABC-A_1B_1C_1$

  • 两个平面相互平行, 侧面是梯形的多面体是棱台? $\times$(可能延长之后不交与一点)

  • 两个平面相互平行且相似, 侧面是梯形的多面体是棱台? $\times$(上下底面可能扭转)

4. 圆柱

  • 以矩形的一边所在直线为旋转轴

  • 24

  • 记法: 圆柱$O’-O$

5. 圆锥

  • 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋传轴

  • 25

  • 记法: 圆锥$SO$

6. 圆台

  • 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分

7. 球

  • 半圆以它的直径所在直线为旋转轴, 旋转一周形成的曲面

  • 26

  • 记法: 球$O$

题型

  • 长方体$ABCD- A_1B_1C_1D_1$中, $AB=4, BC=3, BB_1=5$, 一只蚂蚁从点$A$出发沿表面爬行到点$C$,求蚂蚁爬行的最短路线长

23

8.2 立体图形的直观图

1. 斜二测画法

  • 画轴:

    • 在已知图形中取互相垂直的$x$轴和$y$轴,两轴相交于点$O$. 画直观图时, 把它们画成对应的$x’$轴与$y’$轴,两轴相交于点$O’$,且使$\angle x’O’y’=45^\circ(或135^\circ)$,它们确定的平面表示水平面
    • 建系位置关键

  • 确定点

  • 连结点

  • 作出图形

  • $S_{平面图}=2\sqrt{2}S_{直观图}, S_{直观图}=\frac{\sqrt{2} }{4}S_{平面图}$

2. 各种公式

  • $V_{棱柱}=Sh$

  • $V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$

  • $V_{棱台}=\frac{1}{3}(S’+\sqrt{S’s}+s)h$

  • $S_{圆柱}=2\pi rl+2\pi r^2=2\pi r(l+r)$

  • $S_{圆锥}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$

  • $S_{圆台}=\pi rl+\pi Rl+\pi r^2+\pi R^2=\pi(r^2+rl+R^2+Rl)$

  • $V_{圆柱}=\pi r^2h$

  • $V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi r^2h$

  • $V_{圆台}=\frac{1}{3}\pi(r^2+Rr+R^2)h$

  • $S_{球}=4\pi r^2$

  • $V_{球}=\frac{4}{3}\pi r^3$

3.

  • 平面四边形 四边形

  • 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和

  • 空间四边形 四面体

4. 求体积

  • 公式法

  • 等体积法(换底, 换顶点)

  • 分割法

  • 补形法

5. 外接问题

  • 正方体边长为$a\begin{cases}与面相切&2R=a\\与棱相切&2R=\sqrt{2}a\\与顶相切&2R=\sqrt{3}a\\\end{cases}$

  • 长方体外接球 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

  • $\begin{cases}多面体外接球&关键是球心\\多面体内切球&可用体积球半径\\\end{cases}$

  • 正四面体外接圆, $R=\frac{\sqrt{6} }{4}a$

6. 内接问题

  • 正四面体内接圆, $R=\frac{\sqrt{6} }{12}a$

8.3 平面

1. 平面的画法

  • 常用平行四边形表示

  • 27

  • 记为平面$\alpha$, 平面$ABCD$或平面$AC$

2. 符号表示

  • 点$A$在直线$l$上 $A\in l$

  • 点$A$在直线$l$外 $A\notin l$

  • 点$A$在平面$\alpha$内 $A\in a$

  • 点$A$在平面$\alpha$外 $A\notin a$

  • 直线$l$在平面$\alpha$内 $I\subset a$

  • 直线$l$在平面$\alpha$外 $l⊄a$

  • 平面$\alpha,\beta$相交于$l$ $\alpha\cap\beta=l$

  • 28

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

1. 基本事实

1. 基本事实一

  • 过不在条直线上的三个点, 有且只有一个平面

  • 图像: 29

  • 符号: $A,B,C$三点不共线$\Rightarrow$存在唯一的$\alpha$使$A,B,C\in\alpha$

  • 推论:

    • 过不在条直线上的三个点, 有且只有一个平面30
    • 经过两条相交直线, 有且只有一个平面31
    • 经过两条平行直线, 有且只有一个平面32

2. 基本事实二

  • 如果一条直线上的两个点一个平面内, 那么这条直线在这个平面内

  • 图像: 33

  • 符号: $A\in l,B\in l$,且$A\in a,B\in a\Rightarrow l\subset a$

3. 基本事实三

  • 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线

  • 图像: 34

  • 符号: $P\in\alpha$, 且$P\in\beta\Rightarrow\alpha\cup\beta=l$, 且$P\in l$

2. 异面直线

  • 定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

  • 35

  • 关系 $\begin{cases}共面\begin{cases}相交\\平行\end{cases}\\异面\end{cases}$ 相交1个交点, 其余无交点

3. 直线与平面关系

  • $\begin{cases}直线在平面内\\直线不在平面内\begin{cases}\textbf{相交}&a\cap\alpha=A\\平行&a//\alpha\end{cases}\\\end{cases}$

4. 平面与平面的关系

  • $\begin{cases}平面平行&\alpha//\beta\\平面相交&\alpha\cap\beta=l\\\end{cases}$

整理

1. 体积相等求距离

  • 如图, 在棱长为$a$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,求点$A$到平面$A_1BD$的距离$d$ 36

2.

  • $5$个点, $4$个在同一平面内, 能构成7个平面

8.5 空间直线、平面的平行

1. 基本事实4

  • 文字表述:平行于同一条直线的两条直线平行. 这一性质叫做空间平行线的传递性

  • $a//b,b//a\Rightarrow a//c$

2. 等角定理

  • 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补

3. 线面平行判定

  • 如果平面外一点与此平面一条直线平行, 则直线与此平面平行

  • $l⊄\alpha,m\subset\alpha,l//m\Rightarrow l//\alpha$

4. 线面平行性质

  • 一条直线与一个平面平行, 如果过该直线的平面与此平面相交, 则该直线与交线平行

  • $l//\alpha, l\subset\beta, \alpha\cap\beta=m\Rightarrow l//m$

5. 面面平行判定

  • 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 那么这两个平面平行

  • $\begin{cases}a\subset\beta\\b\subset\beta\\a\cap b=P\\a//\alpha\\b//\alpha\end{cases}\Rightarrow\beta//\alpha$

  • 37

6. 面面平行性质

  • 两个平面平行, 如果另一个平面与这两个平面相交, 那么两条交线平行

  • $\begin{cases}\alpha//\beta\\\alpha\cap\beta=a\\\beta\cap\gamma=b\end{cases}\Rightarrow a//b$

  • 38

例题

  • 在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$为平行四边形.点$M,N,Q$分别在$PA,BD,PD$上, 且$PM:MA=BN:ND=PQ:QD$ 求证:平面$MNQ//$平面$PBC$
    39

  • 四边形$ABCD$是平行四边形, 点$P$是平面$ABCD$外一点, $M$是$PC$的中点, 在$DM$上取一点$G$,过$G$和AP$作平面交平面$BDM$于$GH$. 求证: $GH//$平面$PAD$
    40

梳理

  • 41

  • 补充:

    • 夹在平行平面之间的平行线段相等
    • 两直线被三个平行平面所截, 截得的对应线段成比例

8.6 空间直线、平面的垂直

1.

  • 空间两条直线夹角:$[0^\circ,90^\circ]$

  • 平面两条直线夹角:$[0^\circ,90^\circ]$

  • 异面直线夹角:$(0^\circ,90^\circ]$

2. 线面垂直

  • 直线$l$与平面$\alpha$内任意一条直线垂直
  • $a\perp\alpha,b\subset\alpha\Rightarrow a\perp b$
  • 43

3. 线面垂直判定

  • 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 那么该直线与此平面垂直

  • $l\perp a, l\perp b, a\subset\alpha, b\subset\alpha,a\cap b=P\Rightarrow l\perp\alpha$

  • 44

4. 线面垂直性质

  • 垂直于同一平面的两条直线平行

  • $a\perp\alpha, b\perp\alpha\Rightarrow a//b$

  • 46

5. 线面角

  • 48

  • $l$是斜线(与平面有交点但不与平面垂直)

  • $A$是斜足

  • $O$是垂足(过$l$上不是斜足的点向平面做垂直的交点)

  • 线面角即直线$AP$与射影$OA$的夹角$\theta$

  • $0^\circ\le\theta\le90^\circ$

6. 三垂线定理

  • 定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 则和它的斜线垂直

  • 逆定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 则和它的射影垂直

  • 51

  • 用时需证明: $\left. \begin{array}{r}
    \left. \begin{array}{r}
    \left. \begin{array}{r}
    PA\bot \alpha\\
    a\subset \alpha\\
    \end{array} \right\} a\bot PA\\
    a\bot AD\\
    \end{array} \right\} a\bot 平面BAD\\
    PO\subset 平面PAO\\
    \end{array} \right\} a\bot PO$

7. 二面角

  • 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

  • 50

  • 记法: 二面角$\alpha-AB-\beta$或$\alpha-l-\beta$或$P-AB-Q$或$P-l-Q$

  • 二面角的平面角: $O\in l, OA\subset\alpha, OB\subset\beta,OA\perp l, OB\perp l, \Rightarrow\angle AOB$为二面角$\alpha-l-\beta$的平面角

  • 二面角的平面角确定方法

      1. 定义法: 棱上找一特殊点, 二平面分别向棱做垂线
      1. 垂角法: 做棱垂直的平面, 与半平面产生的交线
      1. 线面垂直法: $A\in\alpha, AB\perp\beta于P, BO\perp l于O$, 连接$OA$, $\angle AOB$为平面角或其补角
        54
      1. 转化: $PA\perp\alpha, PB\perp\beta, \angle AOB+\angle P=180^\circ$
        55

8. 面面垂直判定

  • 如果一个平面过另一个平面的垂线, 那么这两个平面垂直

  • 52

  • $a\perp\beta, a\subset\alpha\Rightarrow\alpha\perp\beta$

9. 面面垂直性质

  • 两个平面垂直, 如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直

  • $\alpha\perp\beta, \alpha\cap\beta=l, a\subset\alpha, a\perp l\Rightarrow a\perp\beta$

  • 56

整理

  • 如图所示, 四面体$A-BCD$中, $E,F$分别是$AB,CD$的中点.若$BD,AC$所成的角为$60^\circ$, 且$BD=AC=2$,求$EF$的长度
    42

  • 如图所示, $Rt\triangle ABC$所在平面外有一点$S$, 且$SA=SB=SC$, 点$D$为斜边$AC$的中点
    (1)求证: $SD\perp$平面$ABC$;
    (2)若$AB=BC$, 求证: $BD\perp$平面$SAC$
    45

  • 正方形$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中, $EF$与异面直线$AC,A_1D$都垂直相交, 求证: $EF//BD_1$
    47

  • $AB$为$\circ O$的直径, $PA$垂直于$\circ O$所在的平面, $M$为圆周上任意一点, $AN\perp PM,N$为垂足
    (1)求证: $AN\perp$平面$PBM$
    (2)若$AQ\perp PB$, 垂足为Q, 求证: $NQ\perp PB$
    49

  • 正方形$ABCD$, $PA\perp$平面$ABCD$, $PA=PB$, 求二面角$B-PC-D$的平面角的度数
    53

  • 过点$S$引三条线段$SA, SB, SC$, 其中$\angle BSC=90^\circ,\angle ASC=\angle BSA=60^\circ$, 且$SA=SB=SC=a$
    求证:平面$ABC\perp$平面$BSC$

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